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换元积分法与分部积分法.doc

换元积分法与分部积分法

惠惠飞
2019-02-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《换元积分法与分部积分法doc》,可适用于综合领域

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§ 换元积分法与分部积分法教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法.教学内容:第一、二换元积分法分部积分法.基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法.教学建议:()布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题.()总结分部积分法的几种形式:升幂法降幂法和循环法.教学过程:一、第一类换元法凑微分法:有一些不定积分将积分变量进行适当的变换后就可利用基本积分表求出积分。例如求不定积分如果凑上一个常数因子使成为令则上述右端积分然后再代回原来的积分变量就求得原不定积分更一般的若函数是函数的一个原函数是可微函数并且复合运算有意义根据复合函数求导法则及不定积分的定义有由于          从而                           ()综上所述可得如下结论定理:(第一换元积分法)设是连续函数是的一个原函数。又若连续可微并且复合运算有意义则()第一换元积分公式()说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式可通过变量代换把被积表达式等同于若不定积分容易求得那么再将代入便求出原不定积分由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积其中一个因子与凑成某一函数的微分而另一因子是的函数且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强无一般规律可循因而不易掌握初学者只有多做练习不断总结经验才能运用自如。凑微分法: 例1、利用求下列积分令有再将代入有令有再将代入有令 再将代入有如果运算比较熟练为了简化解题步骤变量代换可以不写出来只需默记在头脑中就可以了。凑微分法、   特别地,有               和 例2、利用求下列积分=解:()例3、若被积函数利用有如下公式求下列积分以上3例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。例4、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分==凑微分法: 例5、对于与形式的积分当是偶数时可利用三角恒等式来降低三角函数的幂当是奇数时变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。==例6、对于形式的积分可利用三角函数的积化和差公式=例7、根据=例8、=凑微分法:  例、凑微分法: 例、 凑微分法: 例、其他凑法举例: 例、例、 例 例、                 例、                  例、 例、 以上例子大都采用了初等数学(代数或三角函数)中的运算技巧将被积函数进行适当的变形然后再进行变量带换。因此在作积分运算时应该重视有关初等数学知识的灵活运用。习题:P ()~()二、第二类换元法从积分出发从两个方向用凑微法计算即==在式(1)中如果容易求得并且则式()右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法称为第二换元积分法。第二换元积分法可以确切的叙述如下。定理(第二换元积分法):设是连续函数是连续可微函数且定号复合运算有意义。设是的一个原函数即  则   =           ()其中。证明:有定理假设定号故函数存在反函数又于是=可见是式()左端不定积分的被积函数的一个原函数所以式()成立。第二换元积分法指出求式()左端不定积分作变量代换从而于是若上式右端的不定积分                   ()容易求出那么再代回原来的变量便求出原不定积分由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理条件的变换从而使式()的不定积分容易求出。那么如何选择变换呢?这往往与被积函数的形式有关。例如若被积函数中有根式一般选择适当的变换来去掉根式从而使被积函数得到简化不定积分容易求出。常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等以下我们着重介绍三角代换和无理代换、三角代换()正弦代换:正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号方法是:令, 则例、计算解:令且从而==由图知所以==()正割代换:正割代换简称为“割换”是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号 方法是: 利用三角公式 令 有变量还愿时,常用辅助三角形法例、计算解“令存在反函数。这里仅讨论的情况同法可讨论的情况。由于<t<从而由图知所以这里()正切代换:正切代换简称为“切换”是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号 方法是:利用三角公式即令 此时有  变量还原时,常用所谓辅助三角形法例、计算()解:令则存在反函数。且从而=由图知  sect=    所以=这里。总结例~有如下规律:()若被积函数含有一般令或()若被积函数含有一般令()若被积函数含有一般令、无理代换若被积函数是的有理式时,设为的最小公倍数,作代换,有可化被积函数为的有理函数例、计算解:为了去掉被积函数的根式令即作变量代换则从而===例、若被积函数中只有一种根式或可试作代换或 从中解出来例、本题还可用割换计算,但较繁、双曲代换利用双曲函数恒等式,令,可去掉型如的根式化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如:(参阅复旦大学(陈传璋等)编, 数学分析, 上册P)例、本题可用切换计算,但归结为积分,该积分计算较繁参阅后面习题课例例、  (可用切换计算过该题现用曲换计算)解: 例、(曾用割换计算过该题现用曲换计算)解 、倒代换当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换例、 、万能代换万能代换常用于三角函数有理式的积分(参P)令就有   例、解法一:(用万能代换) 解法二:(用初等化简) 解法三:(用初等化简,并凑微)例、            解: =代换法是一种很灵活的方法习题:P ()()()~()三、分部积分法设与均为的连续可微函数。于是由函数乘积的求导公式有或           再由不定积分的定义及线性性质有即                             ()或                                ()公式()或公式()称为不定积分的分部积分公式。一般地说利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变把比较难求甚至无法求出的不定积分转变成容易求的不定积分起到化繁为简的作用。对于给定的不定积分作分部积分运算通常要把被积函数分解为两个因子的乘积这会有多种选择对两个因子中哪一个选作也会有多种选择。选择不同效果不一样的。例如在积分中若选择则并没有达到简化积分计算的目的。若选择则由此可见与的选择对于初学者来讲只有认真总结规律才能熟练地运用分部积分技巧。一般来说在使用分部积分法求不定积分时若被积函数是幂函数与指数函数或三角函数的乘积时应选择若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时应选择。、幂X型函数的积分分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出对“幂”型的积分,使用分部积分法可使“幂”降次,或对“”求导以使其成为代数函数例、计算下列不定积分() ()()()

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